Noções de Erros

Erro estatístico

Esta breve postagem apresenta as regras comumente usadas para indicar a precisão de uma media na forma:

m∓ ∆m

◈ Valor Mais Provável
Havendo uma série de resultados discrepantes, o valor mais provável do resultado será a média aritmética

v = (∑ vi) / n

◈ Erro médio
Média aritmética dos módulos dos desvios de cada medida em relação ao Valor Mais Provável

∆v = ∑  (|vi - v|) / n

Exemplo: Suponhamos uma série de valores 8,40; 8,46; 8,49; 8,53

v = (8,40 + 8,46 + 8,49 + 8,53) / 4 = 8,47

e erro médio

∆v = (|8,40-8,47| + |8,46-8,47| + |8,49-8,47| + |8,53-8,47|)/4 = 0,04

apresentamos o resultado final da seguinte forma

V = (8,47 ∓ 0,04)

◈ Erro instrumental
No caso de instrumentos de baixa precisão, ele indicará sempre o mesmo valor, não havendo flutuações estatísticas de medida. Neste caso indicaremos como erro a metade da última divisão que pode ser lida.

Exemplo: Suponhamos uma régua milimetrada, mediremos sempre o valor próximo a 8,5mm. Como a menor divisão será 1mm, sua metade será 0,5 mm, sendo o resultado apresentado da seguinte forma:

V = (8,5 ∓ 0,5) mm

◈ Propagação do erro
Ao calcularmos um resultado baseados em medidas e uma expressão, devemos saber como o erro de cada medida se propaga no resultado final. Fora dos cálculos analíticos para este problema existem deduções elementares que apresentamos aqui. Podemos obter expressões para o resultado escrevendo os parâmetros na forma m ∓ ∆m e observar o que acontece fazendo-se a operação.  Quanto ao sinal ∓ faz-se a hipótese que os erros sempre se somam segundo o sinal que dará maior erro no resultado.

Exemplos:

Soma:  na soma ou subtração os erros absolutos se somam

z ∓ ∆z = x ∓ ∆x + y ∓ ∆y

sendo

∆z = |∆x| + |∆y|

Produto: O erro relativo (percentual) de um produto é igual à soma dos erros relativos (percentual) dos fatores.

z ∓ ∆z = (x ∓ ∆x) * (y ∓ ∆y)

o produto ∆x * ∆y é desprezível e assim teremos:

z ∓ ∆z = x*y ∓ (|x * ∆y | + |y * ∆x|)

dividindo tudo por x = x * y obtemos

∆z / z = |∆x/x|  + |∆y/y|

∆x/x  e ∆y/y são denominados de "erro relativo", 

∆x/x * 100 é denominado de "erro percentual"

A divisão pode ser incluída na regra acima pois não passa de um produto pelo inverso do denominador. Para o cálculo do erro relativo do denominador temos que os erros relativos de um número e de seu inverso são aproximadamente iguais pois

ÿ = (∑ yi) / n

∆(1/y)/(1/y) = | 1/y - 1/ÿ | / (1/y) ≈ [| ÿ - y | / (y*y) ] / 1/y

Para potência de expoente inteiro, devemos multiplicar o erro relativo pelo expoente, visto que a potencialidade nada mais é que um produto sucessivo. Quando se faz uma teoria analítica do erro propagado demostra-se que esta regra vale também para expoente fracionário, ou seja:

z ∓ ∆z =  (x ∓ ∆x)^r

temos

∆z/z = r  * ∆x/x